Ein NPN-Transistor wird leitend, wenn ein Strom durch die Basis-Emitter-Strecke fließt.

Schauen wir uns mal die Zustände an:
1. Mikrocontroller-Ausgang auf High-Pegel
Der erste Transitor wird leitend und zieht seinen Kollektor dadurch auf Masse. Da die Basen der nächsten beiden Transistoren auf 0 Volt liegen, sperren sie. Der untere zieht den Ausgang also schonmal nicht auf Masse. Der obere Transistor sperrt auch, der Strom fließt dann über den 4k-Widerstand ganz oben in die Basis des oberen Treibertransistors. Der wird leitend und zieht den Ausgang auf 12V.
2. Mikrocontroller-Ausgang auf Low-Pegel
Der Transistor ganz unten leitet nicht. Die Basen der nächsten beiden Transistoren wirken in etwa wie eine Diode, die mit der Flussrichtung in Richtung GND geschaltet sind. Sie ziehen dadurch ihre Basen von selbst auf Masse und sperren. Ab hier ist alles wie in Fall 1.

Abhilfe schafft wie gesagt ein Widerstand, der zwischen Plus und den Kollektor des ersten Transistors (den unten links in der Ecke) geschaltet wird. Er zieht die Basen, wenn der erste Transistor sperrt, in Richtung 12V, wodurch ein Strom durch die Basen fließt und die Transistoren leitend werden. Der untere Transistor zieht dann den Ausgang auf 0V, der obere sorgt dafür, dass der Transistor ganz oben sperrt.

MfG