berechnen von Winkeln: geometrisch und per Lineare Algebra

hallo,
für eine Aufgabe zur Triangulierung möchte ich Winkel berechnen : geometrisch und per Lineare Algebra, komme aber auf verschiedene Ergebnisse.

Gegeben: x/y Koordinatensystem
Vektor p von (0,0) nach (1, 0.5)
Vektor q von (0,0) nach (2, 2)
Der Winkel dazwischen soll bestimmt werden.

geometrisch: // <<<< edit: stimmt das, anschaulich bzw. durch ablesen ??
p hat einen Winkel von 30° zur x-Achse // <<<<<<<<<<< edit: hier steckt der Fehler!! danke!!
q 45° zur x-Achse

also Winkel phi dazwischen:
phi = 45°-30° = 15° = 0.2618 = pi/12



per L.A.:

mit ||.|| = Länge
<.,.> Skalarprodukt
px: x-Koordinate von p
py: y-Koordinate von p

ist der Winkel zwischen 2 Vektoren definiert per

cos(phi) = <p,q> / ( ||p||*||q|| )

= ( px*qx + py*qy) / ( SQRT(px²+py²) * SQRT(qx²+qy²) )
= ( 1*2 + 0.5*2) / (SQRT(1²+0.5²) * SQRT(2²+2²) )
= ( 2 + 1 ) / (SQRT(1.25) * SQRT(8) )
= 3 / (1.12*2.828)
= 3 / 3.17
= 0.946

phi = arccos(0.946) = 18.9° = 0.33 = pi/9.52

ich bin sicher betriebsblind, aber wo?

Zitat:

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.. p hat einen Winkel von 30° zur x-Achse .. ich bin sicher betriebsblind, aber wo? ..

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Hmmmm. Betriebsblind nicht, vielleicht in der Skizze . . . Ablesefehler?

Der Winkel zwischen X-Achse und Vektor-p ist mit Geodreieck: 10 cm, 5 cm ca. 26 ½ Grad.
Taschenrechner: 5 enter 10 => convert in Polarkoordinaten: 26,5651, 11,1803.
Oder: atan(0,5) = 26,5651

Vielleicht einfach ein Ablesefehler beim "kleinen" Vektor. Rest hatte ich nicht mehr gerechnet (zu faul nach dem Essen)

@oberallgeier

Du warst schneller und hast recht.

MfG Klebwax

stimmt, vielen Dank, jetzt hab ichs auch!
kA wie ich auf 30° kam....

atan(0,5) = 26,5651

Dann wäre
phi = 45° - 26,565° = 18,435°

das ist dann immer noch ein Unterschied zu 18,9° nach LA-Skalarprodukt und Längen, aber schon deutlich weniger ... ;)

- - - Aktualisiert - - -

und wenn man jetzt noch mit mehr Stellen rechnet, wird es auch per L.A. noch genauer:

cos(phi) = <p,q> / ( ||p||*||q|| )

= ( px*qx + py*qy) / ( SQRT(px²+py²) * SQRT(qx²+qy²) )
= ( 1*2 + 0.5*2) / (SQRT(1²+0.5²) * SQRT(2²+2²) )
= ( 2 + 1 ) / (SQRT(1.25) * SQRT( 8 ) )
= 3 / SQRT(10)
= 3 / 3.16228
= 0.9487

arccos(0.9487) = 18.432°

jetzt passt's ! :-D

Zitat:

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.. p hat einen Winkel von 30° zur x-Achse // <<<<<<<<<<< edit: hier steckt der Fehler!! danke!! ..

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Zitat:

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.. phi = 45° - 26,565° = 18,435° .. arccos(0.9487) = 18.432° ..

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Ok, das sind 0,2 (NULL komma ZWEI) Minuten(Gradmaß) : 18°26,1´ gegen 18°25,9´ . . . oder von Oberstdorf nach Hamburg (811 km) ein Fehler von 88 m . . . zwei Digits an der fünften Stelle. Bei soviel Transzendenz in der L.A. ist das (meiner Meinung nach) noch recht beruhigend.

ja, die letzte Rechnung ist ok, nachdem der Fehler beim Bestimmen des kleineren Vektorwinkels von 30° auf 26,56° verbessert wurde.
Damit war dann der Unterschied der Winkel zwischen den Vektoren nur noch 18,435° vs. 18.432° bei manuellem Rechnen auf 3 Nachkommastellen mit Taschenrechner. Und wenn man die L.A.-Formel jetzt noch in C mit double programmiert, wird es sicherlich noch genauer.

Aber vorher (TOP) waren es ja 15° vs. 18.9°, und das war schon erheblich.