Kreisbogen Linearisierung

Die Bewegung der Beine der Standbeesten von Theo Jansen https://www.roboternetz.de/phpBB2/viewtopic.php?t=25253 ist durch eine Konstruktion mit Gelenken bestimmt die durch 11 Längenangaben beschrieben wird. Wie es aussieht wird dabei eine Drehbewegung über einen möglichst großen Winkelbereich in eine gleichmäßige Linear- Bewegung umgesetzt. Da jeweils 3 Beinpaare zusammenarbeiten wird jedes für mindestens 120° verantwortlich sein.

Im vorliegenden Fall soll eine Konstruktion bestimmt werden mit der eine Kreisbewegung von 180° in etwa in eine Linearbewegung umgesetzt wird. Sie enthält neben Gelenken eine drehbare Führung.

Bild hier  

Die dargestellte Konstruktion soll die Bewegung der blauen Kurbel auf einem Halbkreis symmetrisch zur Mitte, (so gut wie möglich) in eine lineare Bewegung am anderen Ende der braunen Stange umsetzen. Die braune Stange ist in der drehbaren grünen Hülse geführt.

Die Bewegung die dabei entsteht soll (so gut wie möglich) nicht nur auf einer Geraden liegen sondern auch pro Drehwinkel die gleiche Strecke abfahren.

Für die Konstruktion sind a die Hebellänge der Kurbel und b der Abstand der Kurbelachse und der Drehachse der grünen Führung in Bezug auf c zu bestimmen.
Manfred

Du meinst, mit ein paar Hebeln dazu etc. und Anleihen beim Herrn Peaucellier (oder so ähnlich) ?

Du meinst mit c=100 wahrscheinlich cm?

Ein Lösungsweg fällt mir gerade nicht ein, aber ich werde mal meine Vater fragen :)

jon

Zitat:

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Zitat von Jon

Du meinst mit c=100 wahrscheinlich cm?

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Die Größen a, b und c sollen in einem Verhältnis stehen. Man kann sie wie vorgeschlagen auf c normieren, in Prozent von c, oder eben umrechnen, das wäre dann ein kleinerer Schritt.
Ich habe gehört, dass es die Konstruktion öfter mal gegeben haben soll, so in der Größe von 100-200mm für c.

Zitat:

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Zitat von PicNick

Du meinst, mit ein paar Hebeln dazu etc. und Anleihen beim Herrn Peaucellier (oder so ähnlich) ?

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Die Konstruktion ist so wie sie dargestellt ist schon fertig.
Eine Erläuterung zum Peaucellier Apparat gibt es hier: http://www.ies.co.jp/math/java/geo/h.../hantenki.html

Bild hier  

Er ist schon ein bisschen ähnlich aber anders. Bei ihm wird pro Winkel der Tangens des Winkels an gerader Strecke abgefahren, im obigen Beispiel soll die Strecke pro Winkel in etwa konstant sein. Der Unterschied ist in der Mitte gering, bei der Aussteuerung um bis zu +-90° wird er dann schon erheblich.
Manfred

Anstatt für Prüfungen zu lernen hier kurz mein Lösung. Ich hab nicht nachgeprüft ob es stimmt.

Zunächst kann man sich verdeutlichen, dass es reicht den Bereich zwischen 0° und 90° zu betrachten. Diesen wiederrum kann man in zwei Fälle zerlegen.
Fall 1: Der Zapfen auf der Scheibe ist parallel zur Bewegungsachse
Fall 2: Der Zapfen ist Senkrecht auf zur Bewegungsachse.

Zur Verdeutlichung hab ich ein Bild in der Draufsicht gemalt:

Bild hier  

Betrachten wir zunächst Fall 1:

Die Strecke d beschreibt den Abstand des Drehpunktes (grüne Punkt in der Mitte der Stange, wird mit B bezeichnet) und der Bewegungsachse (roter Pfeil). Die braune Stange ändert ihre Länge nicht sie hat die feste Länge c. Der Radius der Scheibe wird mit a festgelegt. Der Abstand von B zum Mittelpunkt der Scheibe mit b.

Um die Länge d zu bestimmen brauchen wir also:
sin (alpha) = d / c* => d = c* sin (alpha) [Gleichung I]mit c = c* + c** [II]
und sin (alpha) = b / c** [III]
[III] in [II] => c = c* + b /sin (alpha) => c* = c - b / sin (alpha)
in [I] eingesetzt: d = (c - b/sin(alpha)) sin(alpha) [IV]


Nun betrachten wir den sehr viel einfacheren Fall 2:
d = c - (a+b) [V]

Somit lässt sich Gleichung [IV] und [V] gleichsetzen indem d elimniert wird.
==>
c - (a+b) = ((c-b/sin(alpha)) sin(alpha)
c - a - b = c sin(alpha) - b
c - a = c sin(alpha)
a = c - c sin(alpha)

Damit ist es erst mal nicht relevant wie lange b ist, bzw. c bestimmt a. B ist nur relevant für die länge der Bewegungsachse. Dafür die Gleichugen hab ich aber nicht mehr aufstellen wollen.

allerdings kann man sin (alpha) durch entsprechende Längen ausdrücken wenn man möchte.

Ich habe meinen Vater gefragt...
Der hat des net gerafft!!
Jetzt hoffe ich, dass es hier ein ordentliches Ergebins gibt. Mich interessiert das nämlich schon.

jon

@Hanno,
vielen Dank für den Ansatz und vor allem auch die schönen Zeichnungen. Die Prüfungs-Vorbereitungen sollst Du natürlich nicht unterbrechen, - andererseits, - je nach Mentalität, mir haben kurze(!) Unterbrechungen eher geholfen.

Der Ansatz geht sehr in Richtung der Beschreibung einer analytischen Lösung. Man benötigt zur Lösung sicher auch eine Beschreibung beispielsweise mit dem Strahlensatz. Bis zur Auswertung der Zielbedingungen: möglichst gerade und möglichst linear mit dem Winkel wird man damit aber wohl nicht kommen. (Man weiß ja nie was vielleicht doch irgendwie geht.)

Was man vielleicht sehr elegant mit einem analytischen Ansatz machen könnte wäre, die beiden Variablen a und b durch eine analytische Verknüpfung mit einer Näherung aus einer der beiden Zielsetzungen auf eine zu reduzieren. Das wäre aber nicht der einzige Lösungsweg.

@Jon,
Ich habe von der Kinematik gehört und sie hat mich interessiert. Ich habe sie dann beschrieben und ich fand sie ganz interessant. Ich würde mich auch freuen, wenn sonst schon jemand davon gehört hat und etwas darüber erzählt.

Was wäre "ein ordentliches Ergebins" eine Angabe wie man die Verhältnisse wählen soll damit die Bedingungen auf 1% genau eingahalten werden? auf 1% wäre das möglich? oder doch noch viel genauer? zwei Bedingungen auf dem ganzen Bereich?
Manfred

Theo Jansen beschreibt im Video seine Lösung der Optimierungsaufgabe so:

... So I had to find another strategy which was the evolution theory. I put into the atari 1500 of this random lengths of tubes and then he found out which ones were looking more or less like this shape. And the 100 best ones got the privilege to multiply themselves. So the tubes are copied and assembled to 1500 new combinations which won the last race. And that went on day and night for months the atari was working on it. And then there came 11 numbers which I call the holy 11 numbers which could let the thing walk. ... https://www.roboternetz.de/phpBB2/vi...=236736#236736

Immerhin hat er 11 Längen zu bestimmen mit den Zielfunktionen möglichst gerade, möglichst gleichmäßig in der Geschwindigkeit und wohl auch über einen möglichst großen Winkel.

Im vorliegenden Fall hat man die gleichen Zielfunktionen, der Winkelbereich wurde schon vorgegeben. Es sind hier aber nur zwei Längen zu bestimmen. Der Lösungsraum ist nicht 11-dimensional sondern 2-dimensional.

Wenn a und b nicht negativ und nicht größer sind als c sind dann ist der Lösungsraum eine Fläche von 100 mal 100 auf der der beste Punkt gefunden werden soll, mit a+b < 100 bleibt ein Dreieck.
Manfred

In der numerischen Mathematik hat man bei vielen Aufgaben die Lösung selbst oft schneller als man das Problem formuliert und die Lösbarkeit sichergestellt hat.

Falls jemand sich die Funktion mit den Parametern ansehen möchte, im ECXEL sheet ist die Funktion aufgeschrieben mit den Parametern a, b und c links oben. Wenn man 10-20 Wertepaare für a und b eingesetzt hat wird man bald erkennen wo die Lösung ungefähr liegt. Die grüne Führung ist im Nullpunkt, der Kreis ist links.
Manfred

hi,
die einfachste antwort ist wohl a=0 ;-) , dann liegen alle punkte auf einer geraden und der abstand ist bei gleichem winkel auch immer gleich.
mfg jeffrey